数学,规律,构造类问题

题意,就是以任意一个点为中心,交换它左右两个点的位置。

一开始想这题,有个地方错了,所以一直想不到,就是把所有黑子当成一样的,白子当成一样,这样想也不是说错,但是这样想会限制了思维

然后换一种思维,给所有棋子按1到n编号,就算颜色相同,编号也不同,是不同的棋子。

然后我们看看交换的时候会发生什么事情

以点a为中心,那么a-1和a+1发生交换,那么也就是说,编号a-1的点去了a+1的位置,如果继续交换的话,它还可以去到a+3,a+5……的位置,这里有一个突破点就是,它所在的位置的奇偶性不行,如果它一开始就在奇数的位置,无论怎么交换它还是在奇数位置,偶数亦然。

但!不要这么轻易下结论,看看在结尾成环的地方会发生什么

如果以1为中心,那么n和2就可以交换位置

如果以n为中心,n-1和1就可以交换位置

这时候如果主要到了n的奇偶性的话,就能发现问题

 

如果n是奇数:

以1为中心的时候,n和2交换,那么也就是说编号为n的点,原本在奇数的位置,现在去了2,就在偶数位置了,而2号点本来在2的位置现在去了n位置,位置的奇偶性也发生了变化

同样的,如果以n为中心,交换n-1和1,它们所在的位置的奇偶性也会发生变化

结合上面的,如果不在借口处,交换,一个点所在的位置的奇偶性不变,如果在接口处交换,位置的奇偶性就会发生变化。那么,一个点其实能去到任何它想去到的位置?对的没错!

一个点如果在偶数位,那么不断交换,它始终只能去到偶数位,但是到了接口处,却改变了它位置的奇偶性,下一轮它就去到了奇数位置,在这一轮中它又始终在奇数位置…………依次不断循环下去!所以很幸运的,这个点,只要它愿意,只要循环次数足够多,那么它能去到任何一个它想去到的位置

如果n是偶数:

以1为中心,n和2交换,会发现n和2都是偶数,即使交换了,它们所在位置的奇偶性不会发生变化

以n为中心,n-1和1交换,会发现n-1和1都是奇数,即使交换了,它们所在的位置的奇偶性不会发生变化

所以对于n是偶数的情况则没那么幸运了,一个点一开始在偶数位置的话,无论怎么交换,即使到了接口处继续交换,都不能改变它所在位置的奇偶性。一开始的位置就是奇数亦然

 

有了上面这两条很重要结论,我们的问题其实变为了一个构造类问题,并且仅仅是判断这个构造能否成功

结论1:如果序列长度为奇数,对于序列中的任意一个点,它能去到任何位置

结论2:如果序列长度为偶数,对于序列中一开始就在奇数位置的点,它能去到任意奇数位置但去不到偶数位置,对于一开始就在偶数位置的点,它能去到任何偶数位置但去不到奇数位置

 

我们构造的目的是将所有黑色点聚集在一起:

当n为奇数的时候,这太容易了,因为我们能将任意一个黑色点移动到我们想让它去的地方,所以要它们聚集在一起,那是一定能做到的,所以n为奇数,一定为YES

当n为偶数的时候,如果黑色点一开始就在偶数位置,我们能将它移到任意偶数位置,奇数亦然。所以我们只要保证,一开始,处在奇数位置的黑点和处在偶数位置的黑点的个数相差不超过1,那么就能聚集在一起。因为如果个数相差超过了1,那么必然必然导致一些黑点能聚集在一起,但是另一些黑点则隔着放,因为他们所在位置的奇偶性不能改变!

 

#include 
using namespace std;

inline int abs(int a ,int b)
{
    return a-b > 0 ? a-b : b-a;
}

int main()
{
    int cas,n,a,b,x;
    cin >> cas;
    while(cas--)
    {
        cin >> n;
        a = b = 0;
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            cin >> x;
            if(x && i&1)         a++;
            else if(x && !(i&1)) b++;
        }
        if(n&1 || abs(a,b)<=1) cout << "YES" << endl;
        else                   cout << "NO" << endl;
    }
    return 0;
}